半負(fù)定矩陣的判定方法

發(fā)布時(shí)間：2025-11-08 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

一、正定矩陣判定：

1、正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。

2、若A為n階對(duì)稱正定矩陣，則存在唯一的主對(duì)角線元素都是正數(shù)的下三角陣L，使得A=L*L′，此分解式稱為 正定矩陣的楚列斯基（Cholesky）分解。

3、若A為n階正定矩陣，則A為n階可逆矩陣。

二、判定一個(gè)矩陣半正定：

1、對(duì)于半正定矩陣來說相應(yīng)的條件應(yīng)改為所有的主子式非負(fù)。順序主子式非負(fù)并不能推出矩陣是半正定的。

2、半正定矩陣：設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣。如果對(duì)任意的實(shí)非零列矩陣X有XT*A*X≥0，就稱A為半正定矩陣。

3、A∈Mn（K）是半正定矩陣的充分條件是：A的所有主子式大于或等于零。

三、負(fù)定矩陣判定：

1、設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣。如果對(duì)任意的實(shí)非零列矩陣X有XTAX<0，就稱A為負(fù)定矩陣。

2、A∈Mn（K）是負(fù)定矩陣的充要條件是：-A是正定矩陣。

3、A∈Mn（K）是負(fù)定矩陣的充要條件是：$A^{-1}$是負(fù)定矩陣。

4、A∈Mn（K）是負(fù)定矩陣的充要條件是：A的所有奇數(shù)階順序主子式小于零，所有偶數(shù)階順序主子式大于零。