直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

發(fā)布時間：2025-11-25 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

直角三角形斜邊中線定理：如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。這是數(shù)學中關(guān)于直角三角形的一個定理。

【證明方法】

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分線n交BC于D

∴AD=BD（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）

以DB為半徑，D為圓心畫弧，與BC在D的另一側(cè)交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD∠C’AD=∠AC’D（等邊對等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D=180°（三角形內(nèi)角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90°即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C與C’在直線AC上

又∵C與C’在直線BD上，AC與BD相交

∴C與C’重合（也可用垂直公理證明：假使C與C’不重合由于CA⊥AB，C’A⊥AB故過A有CA、C’A兩條直線與AB垂直這就與垂直公理矛盾∴假設不成立∴C與C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中線且AD=BC/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理。

【成立的逆命題】如果一個三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。

證明：以該條邊的中點為圓心，以中線長為半徑作圓，則該邊成為圓的直徑，該三角形的另一個頂點在圓上，該頂角為圓周角。因為直徑上的圓周角是直角，所以該逆命題成立。