周期函數(shù)一定有最小正周期嗎

發(fā)布時(shí)間：2025-11-25 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

不是所有周期函數(shù)都有最小正周期。周期函數(shù)f（x）的周期T是與x無關(guān)的非零常數(shù)，存在沒有最小正周期的函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)就是狄利克雷函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)（是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)范圍上、值域不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)的圖像以Y軸為對(duì)稱軸，是一個(gè)偶函數(shù)，它處處不連續(xù)，處處極限不存在，不可黎曼積分。

實(shí)數(shù)域上的狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)表示為：

（k，j為整數(shù)）也可以簡(jiǎn)單地表示分段函數(shù)的形式D(x)=0（x是無理數(shù)）或1（x是有理數(shù)）

假設(shè)f(x)=0，x為無理數(shù)

f(x)=1，x為有理數(shù)

由有理數(shù)和無理數(shù)的運(yùn)算法則可以知道，所有的有理數(shù)與有理數(shù)的和都是有理數(shù)，與無理數(shù)的和都是無理數(shù)。

那么對(duì)于這個(gè)函數(shù)而言，取T為任意有理數(shù)，就都滿足了，無論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，這就意味著狄利克雷就是一個(gè)周期函數(shù)。它的最小正周期是最小的有理數(shù)，而顯然是不存在最小的有理數(shù)的，因而這個(gè)函數(shù)也就沒有最小正周期了。

擴(kuò)展資料

對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為0的正數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域中的每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，那么稱f(x)是周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期。如果函數(shù)f(x的所有周期中存在最小值T0，稱T0為周期函數(shù)f(x)的最小正周期。

周期函數(shù)的性質(zhì)共分以下幾個(gè)類型：

1、若T（≠0）是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期。

2、若T（≠0）是f（x）的周期，則nT（n為任意非零整數(shù)）也是f（x）的周期。

3、若T1與T2都是f（x）的周期，則T1±T2也是f（x）的周期。

4、若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。

5、若T1、T2是f（x）的兩個(gè)周期，且T1/T2是無理數(shù)，則f（x）不存在最小正周期。

6、周期函數(shù)f（x）的定義域M必定是至少一方無界的***。