多項式的系數(shù)怎樣求

發(fā)布時間：2025-11-29 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

多項式展開式的系數(shù)問題需用利用二項式定理進行求解。

擴展資料：

二項式定理的性質(zhì)（作用）：

①證明組合恒等式：二項式定理給出的系數(shù)可以視為組合數(shù)的另一種定義。因此二項式展開與組合數(shù)的關(guān)系十分密切。它常常用來證明一些組合恒等式。

②證明自然數(shù)冪求和公式：如果一個式子不是一個等差數(shù)列，也不是一個等比數(shù)列，但通過二項式定理的展開式，可以轉(zhuǎn)化為按等差數(shù)列，由低次冪到高次冪遞進求和，最終可推導(dǎo)至李善蘭自然數(shù)冪求和公式的原形。

當(dāng)n為奇數(shù)時，由1+2+3+4+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=N+N+N+...+N加或減去所有添加的二項式展開式數(shù)

=(1+N)N減去所有添加的二項式展開式數(shù)。

當(dāng)n為偶數(shù)時，由1+2+3+4+5+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數(shù)

又當(dāng)n為偶數(shù)時，由1+2+3+4+5+6+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]

=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數(shù),合并n為偶數(shù)時2S的兩個計算結(jié)果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的計算公式。

其中所有添加的二項式展開式數(shù)，按下列二項式展開式確定，如此可以順利進行自然數(shù)的1至n次冪的求和公式的遞進推導(dǎo)，最終可以推導(dǎo)至李善蘭自然數(shù)冪求和公式。