什么是凹函數(shù)，什么是凸函數(shù)傻傻分不清楚

發(fā)布時間：2025-10-22 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉載和整理

凹函數(shù)是一個定義在某個向量空間的凸集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)f。設f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點X1<X2和任意的實數(shù)λ∈（0，1），總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),則f稱為I上的凹函數(shù)。

凸函數(shù),是數(shù)學函數(shù)的一類特征。凸函數(shù)就是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)。

凸函數(shù)是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)f，而且對于凸子集C中任意兩個向量,f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,則f(x)是定義在凸子集c中的凸函數(shù)（該定義與凸規(guī)劃中凸函數(shù)的定義是一致的，下凸）。

擴展資料：

這個定義從幾何上看就是：

在函數(shù)f(x)的圖象上取任意兩點，如果函數(shù)圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方，那么這個函數(shù)就是凹函數(shù)。同理可知如果函數(shù)圖像在這兩點之間的部分總在連接這兩點線段的上方，那么這個函數(shù)就是凸函數(shù)。

直觀上看凸函數(shù)就是圖象向上突出來的。比如凹函數(shù)就是圖像向下凹進去的，比如常見的。

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導，則f(x)在區(qū)間I上是凸函數(shù)的充要條件是f''(x)=0;

一般來說可按如下方法準確說明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即V型，為“凸向原點”，或“下凸”（也可說上凹），（有的簡稱凸有的簡稱凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即A型，為“凹向原點”，或“上凸”（下凹），（同樣有的簡稱凹有的簡稱凸）

常見的凸函數(shù)

1指數(shù)函數(shù)eax

2冪函數(shù)xa,x∈R+,1≤a或者a≤0

3負對數(shù)函數(shù)-logx

4負熵函數(shù)xlogx

5范數(shù)函數(shù)||x||p

如果一個可微函數(shù)f它的導數(shù)f'在某區(qū)間是單調下跌的，f就是凹的；即一個凹函數(shù)擁有一個下跌的斜率（當中下跌只是代表非上升而不是嚴謹?shù)南碌?，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數(shù)f，它的二階導數(shù)f'(x)是正值（或者說它有一個正值的加速度），那么它的圖像是凹的；如果二階導數(shù)f'(x)是負值，圖像就會是凸的。當中如果某點轉變了圖像的凹凸性，這就是一個拐點。

如果凹函數(shù)（也就是向上開口的）有一個“底”，在底的任意點就是它的極小值。如果凸函數(shù)有一個“頂點”，那么那個頂點就是函數(shù)的極大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的當且僅當f''(x)是非正值。如果二階導數(shù)是負值的話它就是嚴謹凹函數(shù)，但相反而言又不一定正確。

參考資料：百度百科——凹函數(shù)

參考資料：百度百科——凸函數(shù)